Блог вчителя математики та фізики Нечитайло Валентини Іванівни: Готуємось до олімпіади

7 клас

1. На автомобільному треку, що має форму квадрата, проводяться кільцеві перегони. Із двох різних вершин цього треку одночасно назустріч один одному стартують дві машини і продовжують рух у тих же напрямках. Визначте, скільки разів протягом години більш повільний автомобіль може проїхати одне коло (увесь квадрат), якщо відомо, що швидкість одного з автомобілів у чотири рази більше швидкості другого, а їх 9-а зустріч відбулася через 24 хвилини після старту.

2. Якось зустрілися мудрець, хитрун і брехун. (Відомо, що мудрець завжди говорить правду; брехун – бреше; хитрун, якщо йому сказали правду, говорить правду, якщо брехню – бреше, а якщо він говорить перший, то він бреше.) Між ними відбулася розмова:

Перший сказав другому: «Ти – хитрун».

Другий йому відповів: «Ти брешеш, це ти – хитрун».

На що третій заперечив: «Ви обоє брешете, хитрун – це я!»

Визначте, хто з них мудрець, хитрун і брехун.

На рисунку зображено 12 точок. Чи можна пофарбувати 7 точок у чорний колір так, щоб ніякі 4 з пофарбованих точок не були вершинами прямокутника.

4. До натурального числа дозволяється додавати або віднімати суму його цифр. Чи можна за допомогою цих операцій із числа 2013 одержати число 2014?

5. У кошику лежать 13 яблук. Є ваги, за допомогою яких можна довідатися сумарну вагу будь-яких двох яблук. Придумайте спосіб з'ясувати за 8 зважувань сумарну вагу всіх яблук.

Розв’язок

6. На автомобільному треку, що має форму квадрата, проводяться кільцеві перегони. Із двох різних вершин цього треку одночасно назустріч один одному стартують дві машини і продовжують рух у тих же напрямках. Визначте, скільки разів протягом години більш повільний автомобіль може проїхати одне коло (увесь квадрат), якщо відомо, що швидкість одного з автомобілів у чотири рази більше швидкості другого, а їх 9-а зустріч відбулася через 24 хвилини після старту.

Відповідь. 4,125; 4,25; 4,375

Розв'язок.

Слід розглянути три випадки: 1) 2) 3)

Приймемо весь периметр квадрата за 1, а швидкість «повільного» авто за

. У першому випадку до 9-й зустрічі слід проїхати

, у другому -

і в третьому -

периметра квадрата. Тоді маємо: 1)

7. Якось зустрілися мудрець, хитрун і брехун. (Відомо, що мудрець завжди говорить правду; брехун – бреше; хитрун, якщо йому сказали правду, говорить правду, якщо брехню – бреше, а якщо він говорить перший, то він бреше.) Між ними відбулася розмова:

Перший сказав другому: «Ти – хитрун».

Другий йому відповів: «Ти брешеш, це ти – хитрун».

На що третій заперечив: «Ви обоє брешете, хитрун – це я!»

Визначте, хто з них мудрець, хитрун і брехун.

Відповідь. Перший – хитрун, Другий – мудрець, Третій – брехун.

Розв'язок.

Розглянемо всі можливі варіанти для Першого.

1) Якщо Перший – брехун, то з першого висловлення випливає, що Другий може бути тільки мудрецем, але тоді із другого твердження випливає, що Перший – хитрун. Протиріччя.

2) Якщо Перший - мудрець, то Другий – хитрун. З того що Другому сказали правду, він повинен сказати теж правду. Але в цьому випадку його висловлення хибне. Протиріччя.

3) Залишається випадок, коли Перший – хитрун. У цьому випадку друге твердження вірне, тобто Другий – мудрець. Тоді Третій – брехун. Цей випадок задовольняє умові задачі.

8. На рисунку зображено 12 точок. Чи можна пофарбувати 7 точок у чорний колір так, щоб ніякі 4 з пофарбованих точок не були вершинами прямокутника.

Розв'язок. Наприклад таке розфарбування:

9. До натурального числа дозволяється додавати або віднімати суму його цифр. Чи можна за допомогою цих операцій із числа 2013 одержати число 2014?

Відповідь. Не можна.

Розв'язок. Якщо число ділиться на 3, то після зміни цього числа на суму його цифр воно як і раніше буде ділитися на 3. Число 2013 ділиться на 3, а число 2014 – ні.

10. У кошику лежать 13 яблук. Є ваги, за допомогою яких можна довідатися сумарну вагу будь-яких двох яблук. Придумайте спосіб з'ясувати за 8 зважувань сумарну вагу всіх яблук.

Розв'язок.

Зважимо яблука парами, наприклад, перше й друге, третє й четверте, …, одинадцяте й дванадцяте. Це – 6 зважувань. Сьоме зважування – одинадцяте й тринадцяте яблука; восьме – дванадцяте й тринадцяте. Тоді, склавши результати останніх трьох зважувань, одержимо подвоєну вагу яблук 11, 12 і 13, і, виходить, зуміємо обчислити й сумарну вагу всіх яблук.

7 клас

1. Чому дорівнює значення виразу:

Відповідь:

Розв’язання. Зробимо такі спрощення:

2. Всередині кута

вибрана точка

- бісектриса цього кута. Визначіть величину

через кути

та

Відповідь:

Розв’язання. Без обмеження загальності будемо вважати, що

, тоді (рис. 2)

та

Звідси маємо, що

. Якщо ж узагальнити на випадок довільного розташування точки, то:

3. Доведіть, що з рівності

випливає рівність чисел

та

Відповідь: так.

Розв’язання. З цієї рівності запишемо таку:

4. Наведіть приклад

попарно різних натуральних чисел, які задовольняють умову: сума усіх чисел без будь-якого числа з набору ділиться на це число.

Відповідь:

Розв’язання. Розглянемо числа

. Тепер на кожному кроці будемо до набору додавати суму усіх чисел. Таким чином спочатку додаємо число

, далі

. Нехай у наборі утворилися такі числа:

. Позначимо їх суму

. За побудовою

ділиться на кожне з чисел. Дійсно, при додаванні

сума

ділиться на

. Ця властивість не втрачається і далі. Тепер маємо, що

та

, тому й

, що й треба було довести. Таким чином і знаходимо шуканий набір чисел, що наведений у відповіді.

5. У шеренгу вишикувались 2015 брехунів та лицарів. Лицар завжди каже правду, брехун – завжди бреше. Кожен з них сказав, що ліворуч від нього більше брехунів, ніж лицарів праворуч від нього. Скільки у шерензі брехунів, а скільки лицарів?

Відповідь: брехунів

, лицарів

Розв’язання. Нехай в шерензі стоять

брехунів та

лицарів. Розглянемо того лицаря, що стоїть самим лівим серед усіх лицарів. Таким чином зліва від нього стоять самі брехуни. Це означає, що праворуч від нього

лицар, крім того він каже правду. Тому лівіше від нього стоїть мінімум

брехунів. Тому

, оскільки

- загальна кількість брехунів. Розглянемо тепер брехуна, що стоїть самим правим. Таким чином лівіше від нього рівно

брехун. Він сказав неправду, тобто ліворуч від нього брехунів не більше (тобто менше або дорівнює) ніж лицарів. Таким чином

. Звідси маємо, що

. Оскільки кількість усіх в шерензі непарна кількість, то їх не може бути порівну. Звідси

. Далі просто знаходимо, що

7 клас

1. Через вершину тупого кута, градусна міра якого дорівнює a, проведено промені, перпендикулярні до сторін кута. Промені утворили кут b. Доведіть, що a + b= 180°.

2. Розв'яжіть рівняння : |x+ 5 -|8 - x|| + х =3 .

3. Число x таке, що 15% від нього і 33% від нього - цілі додатні числа. Яким може бути найменше число x (не обов'язково ціле) з такою властивістю? Відповідь обґрунтуйте.

4. Розкладіть на множники: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-24.

5. Множину чисел 1, 2, 3, ... 2008 розбили на дві групи. До першої групи віднесли всі числа з непарною сумою цифр, а до другої - з парною. Що більше: сума всіх чисел першої групи, чи сума всіх чисел другої групи?

7 клас

1. Скількома нулями закінчується добуток всіх цілих чисел від 1 до 75 включно?

2. В одному селі живуть чотири чоловіки: Акація, Береза, Верба і Граб.

Один із них – кравець, другий – шофер, третій – тесляр, четвертий – швець.

Одного разу кравець прийшов до тесляра, щоб попросити його полагодити дах, але йому сказали, що він допомагає Вербі ремонтувати двері.

Визнач професію кожного, якщо відомо, що

а) Граб не тесляр, а Береза живе по сусідству з теслярем;

б) Береза не вміє водити автомобіль, а Акація дружить з шофером;

в) Верба заніс ремонтувати свої чоботи і змушений йти, щоб принести їх до дому.

3. В записі 52*2* замінити зірочки цифрами так, щоб отримане число ділилося на 36. Вказати всі можливі розв’язки.

4. На скільки частин ділиться аркуш паперу п’ятьма прямими, що перетинаються ? Розглянути всі випадки.

5. Дідусь з внуком пішли разом кататися на лижах. Бабуся знає, що на горизонтальній поверхні обидвоє їдуть із швидкістю 7 км/год, під гору дід 8 км/год, а внук - 20 км/год,; вгору дід - 6 км/год, а внук - 4 км/год. Обидвоє проїхали по одному і тому ж маршруту. Чи може бабуся визначити що більше протяжність спуску чи підйому на їх шляху, якщо першим повернувся: а) внук; б) дід ?

7 клас.

1. Відповідь : 17 нулів.

2. Розв’язання:

	Акація	Береза	Верба	Граб
кравець	-	-	+	-
шофер	-	-	-	+
тесляр	+	-	-	-
швець	-	+	-	-

3. Число ділиться на 36, якщо воно ділиться на 4 і на 9. Так как сума цифр 5+2+2= 9, то сума пропущених двох цифр повинна дорівнювати 0; 9 або 18. Враховуючи, що число повинно ділитися на 4, а передостання цифра дорівнює 2, то остання цифра може бути 0; 4 або 8. Отже відповіді можуть бути: 52524; 52128; 52020; 52920.

4. 16 частин.

5. Нехай